到達階層における獲得ヒーローソウルの期待値計算　導出編 (Clicker Heroes)

この記事では、獲得ヒーローソウルの期待値の式を導出していきます。
本当は、各式のグラフなどを提示して、わかりやすく解説できれば良かったのですが、許して下さい・・・。
期待値計算をしたい方は
到達階層における獲得ヒーローソウルの期待値計算（Clicker Heroes） - ハムログ
を見てください。

では、導出していきましょう。

期待値を導出する過程

Primal Bossから取得できる基礎ヒーローソウル数と出現確率
基礎ヒーローソウル数の式の私的解釈
Primal Bossの最終的なヒーローソウル数
期待値の計算

Primal Bossから取得できる基礎ヒーローソウル数と出現確率

Primal Bossを倒すと得られる基礎ヒーロソウル数(HS)はHero Souls - Clicker Heroes JP Wikiによると、
${ \displaystyle HS = \left (\frac{\frac{level-100}{5}+4}{5}\right )^{1.3}, }\tag{1}$
らしいです。
Primal Bossの出現確率は(25+Atmanレベル)%の確率です。
また、100の倍数の階層では100%の確率で出現します。
基礎ヒーローソウル数と表記している理由は、実際はSolomonの効果が適用された値が最終的なヒーローソウル数となるからです。

基礎ヒーローソウル数の式の私的解釈

この基礎ヒーローソウル数(HS)の式は倒したボスの階層(level)を使って、計算しています。
式を解釈してみると、 ${ \frac{level-100}{5}}$ の部分は何体目のボスかを表しています。
したがって、階層 $level$ のボスの番号 $i$ は、
${\displaystyle i = \frac{level-100}{5}, }$
となります。
このとき、分母の5は5階層刻みでボスが出現することを表しています。

基礎ヒーローソウル数の式(1)を変形すると、 $i$ 体目のボスの基礎ヒーローソウル数( $HS^{base}_i$ )は
${ \displaystyle HS_i^{base} = \left (\frac{i+4}{5}\right )^{1.3}, }\tag{2}$
となります。
この式では、階層100のボスは0体目としています。
また、 $\frac{i+4}{5}$ はボス5体刻みで値がちょうど1増加することを示しています。
例えば、1体目のボスでは結果は1となり、6体目では2、11体目では3となります。
もちろん、5刻みの間のボスの時は計算された値は実数となります。

ここで、重要なポイントはそのボスの階層 $level$ で基礎ヒーローソウル数が決まるのではなく、そのボスが何番目のボスなのかによって決まっていることです。
階層 $level$ ではなく、ボスの番号 $i$ に注目しようということです。
その方が計算にも都合が良いです。

Primal Bossの最終的なヒーローソウル数

今までは、Solomonの効果を考えない場合でした。
Solomonの効果を考慮すると、 $i$ 番目のPrimal Bossから得られる最終的なヒーローソウル数( $HS_i$ )は、
${ \displaystyle HS_i = \left \lfloor HS_i^{base} \times \left(1+\frac{S}{100} \right ) \right \rfloor, }\tag{3}$
となります。
ここで、 $S$ はSolomonの倍率[%]です。

期待値の計算式

期待値は各ボスのヒーローソウル数と出現確率の積の和となります。
すなわち、得られるヒーローソウルの期待値( $\overline{HS}$ )は，
${ \displaystyle \overline{HS} = 1+\sum_{i=1}^{N}P_i HS_i, }\tag{5}$
です。
最終的に到達する階層を $L$ とすると，
倒すボスの総数 $N$ は，
${ \displaystyle N = \left \lfloor \frac{L-100}{5} \right \rfloor, }\tag{6}$
です。
また、Primal Bossの出現確率 $P_i$ は
${ \displaystyle P_i = \begin{cases} \frac{25+A}{100}&, i {\ \rm mod\ \ } 20 \neq 0 \\ 1 &, i {\ \rm mod\ \ } 20 = 0 \end{cases}, }\tag{7}$
ですね。
$A$ はAtmanのレベルです。
以上の流れで獲得ヒーローソウルの期待値を導出できました。

おまけ:Solomonの倍率の計算式

Solomonの倍率をSolomonのレベル $L_s$ で表すとどのような式になるでしょうか。
おそらく、以下のような式になると思われます。
${ \displaystyle S = \sum_{l=1}^{L_s} u_l, }\tag{8}$
${ \displaystyle u_l = \begin{cases} 5-\left \lfloor \frac{l}{20} \right \rfloor&, 1\leq l < 100 \\ 1 &, l \geq 100 \end{cases}, }\tag{9}$